حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $2$ في $18$ .

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $- \frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{2} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

خطوة 1.1.1.3.4

اجمع $- 3$ و $\frac{3}{2}$ .

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

خطوة 1.1.1.3.5

اضرب $- 3$ في $3$ .

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

خطوة 1.1.1.3.6

اجمع $\frac{- 9}{2}$ و $x^{2}$ .

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

خطوة 1.1.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

خطوة 1.1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

خطوة 1.2.2

اضرب كل حد في $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب كل حد في $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ في $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{9 x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

خطوة 1.2.2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اضرب $2$ في $36$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اضرب $0$ في $2$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $- 9 x$ من $- 9 x^{2} + 72 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $- 9 x$ من $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

خطوة 1.2.3.2

أخرِج العامل $- 9 x$ من $72 x$ .

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

خطوة 1.2.3.3

أخرِج العامل $- 9 x$ من $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ .

$- 9 x (x - 8) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 9 x (x - 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 8$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

خطوة 1.4.1.2.1.2

اضرب $18$ في $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

خطوة 1.4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

خطوة 1.4.1.2.1.4

اضرب $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

خطوة 1.4.1.2.1.4.2

اضرب $0$ في $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

خطوة 1.4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8$ .

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

خطوة 1.4.2.2.1.2

اضرب $18$ في $64$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

خطوة 1.4.2.2.1.3

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

خطوة 1.4.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

خطوة 1.4.2.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $512$ .

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

خطوة 1.4.2.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

خطوة 1.4.2.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$1152 - 3 \cdot 256$

خطوة 1.4.2.2.1.5

اضرب $- 3$ في $256$ .

$1152 - 768$

خطوة 1.4.2.2.2

اطرح $768$ من $1152$ .

$384$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (8, 384)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $18$ في $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

خطوة 2.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

خطوة 2.1.2.1.4

اضرب $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

خطوة 2.1.2.1.4.2

اضرب $0$ في $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

خطوة 2.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $12$ .

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $18$ في $144$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

خطوة 2.2.2.1.3

ارفع $12$ إلى القوة $3$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

خطوة 2.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

خطوة 2.2.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $1728$ .

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

خطوة 2.2.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

خطوة 2.2.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$2592 - 3 \cdot 864$

خطوة 2.2.2.1.5

اضرب $- 3$ في $864$ .

$2592 - 2592$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $2592$ من $2592$ .

$0$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (12, 0)$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(8, 384)$

الحد الأدنى المطلق: $(0, 0), (12, 0)$

خطوة 4