حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + e^{- 4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

خطوة 1.1.1.2.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

خطوة 1.1.1.2.5

انقُل $- 4$ إلى يسار $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $e^{- 4 x}$ على $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

خطوة 1.2.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

خطوة 1.2.5

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

وسّع $\ln (e^{- 4 x})$ بنقل $- 4 x$ خارج اللوغاريتم.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

خطوة 1.2.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

خطوة 1.2.5.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

خطوة 1.2.6

اقسِم كل حد في $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اقسِم كل حد في $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

خطوة 1.2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

خطوة 1.2.6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

خطوة 1.2.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x + e^{- 4 x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ بالصيغة $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ بنقل $\frac{1}{4}$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

خطوة 1.4.1.2.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

خطوة 1.4.1.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

خطوة 1.4.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ إلى بسط الكسر.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

خطوة 1.4.1.2.5.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

خطوة 1.4.1.2.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

خطوة 1.4.1.2.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $\ln (\frac{1}{4})$ في $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

خطوة 1.4.1.2.8

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

خطوة 2.1.2

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

خطوة 2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$3 + e^{- 12}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(- 2, - 2 + e^{8})$

الحد الأدنى المطلق: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

خطوة 4