حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x y + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

خطوة 3

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

خطوة 5.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x y' + 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ على $x + 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ على $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 x + y)$ بالصيغة $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

خطوة 7

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x + y = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - y$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - y$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - y$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{y}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.3

اضرب $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.5

اضرب $(- \frac{y}{2}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.5.1

اجمع $y$ و $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.5.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.1.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $\frac{y^{2}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.2.2

اضرب $\frac{y^{2}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

خطوة 8.1.2.3

اكتب $y^{2}$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

خطوة 8.1.2.4

اضرب $\frac{y^{2}}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

خطوة 8.1.2.5

اضرب $\frac{y^{2}}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

خطوة 8.1.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

خطوة 8.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

خطوة 8.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

خطوة 8.1.4.2

انقُل $4$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

خطوة 8.1.5

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1

اطرح $2 y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

خطوة 8.1.5.2

أضف $- y^{2}$ و $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

خطوة 8.2

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

خطوة 8.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

بسّط $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

اجمع.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

خطوة 8.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

خطوة 8.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

خطوة 8.3.1.1.3.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

خطوة 8.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

خطوة 8.3.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$y^{2} = 36$

خطوة 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

خطوة 8.5

بسّط $\pm \sqrt{36}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

خطوة 8.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = \pm 6$

خطوة 8.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = 6$

خطوة 8.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - 6$

خطوة 8.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = 6, - 6$

خطوة 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احذِف الأقواس.

$x = - \frac{6}{2}$

خطوة 9.2

بسّط $- \frac{6}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم $6$ على $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

خطوة 9.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x = - 3$

خطوة 10

بسّط $- \frac{- 6}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اقسِم $- 6$ على $2$ .

$x = - - 3$

خطوة 10.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$x = 3$

خطوة 11

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

خطوة 12