حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x y = \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$3 (x y' + y)$

خطوة 2.6

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x y' + 3 y$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $3 y$ من كلا المتعادلين.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ على $3 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ على $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.2

اضرب $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

خطوة 5.2.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

خطوة 5.2.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.2.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

خطوة 7

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$3 x^{2}, x, 1$

خطوة 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

خطوة 7.1.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 7.1.4

بما أن $3$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $3$ .

$3$ هي عدد أولي

خطوة 7.1.5

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 7.1.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $3, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$3$

خطوة 7.1.7

عوامل $x^{2}$ هي $x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$x^{2} = x \cdot x$

تحدث $x$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 7.1.8

عامل $x^{1}$ هو $x$ نفسها.

$x^{1} = x$

تحدث $x$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 7.1.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{2}, x^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x \cdot x$

خطوة 7.1.10

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2}$

خطوة 7.1.11

المضاعف المشترك الأصغر لـ $3 x^{2}, x, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $3$ في الجزء المتغير.

$3 x^{2}$

خطوة 7.2

اضرب كل حد في $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ في $3 x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ في $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{x}$ إلى بسط الكسر.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.4.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.2.1.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

خطوة 7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $0 (3 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

خطوة 7.2.3.1.2

اضرب $0$ في $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

خطوة 7.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 3 y x = - 1$

خطوة 7.3.2

اقسِم كل حد في $- 3 y x = - 1$ على $- 3 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 y x = - 1$ على $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

خطوة 7.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

خطوة 7.3.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

خطوة 7.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

خطوة 7.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

خطوة 7.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{1}{3 y}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

خطوة 8.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

خطوة 8.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

خطوة 8.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

خطوة 8.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

خطوة 8.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

خطوة 8.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

خطوة 8.2

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

خطوة 8.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

خطوة 8.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

خطوة 8.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

خطوة 8.5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$3 y, 1$

خطوة 8.5.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$3 y$

خطوة 8.5.3

اضرب كل حد في $\frac{1}{3 y} = e$ في $3 y$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{3 y} = e$ في $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

خطوة 8.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

خطوة 8.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

خطوة 8.5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

خطوة 8.5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

خطوة 8.5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

خطوة 8.5.3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = e (3 y)$

خطوة 8.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.3.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $e$ .

$1 = 3 e y$

خطوة 8.5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

خطوة 8.5.4.2

اقسِم كل حد في $3 e y = 1$ على $3 e$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.4.2.1

اقسِم كل حد في $3 e y = 1$ على $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

خطوة 8.5.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

خطوة 8.5.4.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

خطوة 8.5.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

خطوة 8.5.4.2.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

خطوة 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $3$ في $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

خطوة 9.2

بسّط $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

خطوة 9.2.2

اختزِل العبارة $\frac{3}{3 e}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

خطوة 9.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

خطوة 9.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = 1 e$

خطوة 9.2.4

اضرب $e$ في $1$ .

$x = e$

خطوة 10

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

خطوة 11