حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cot (y) = x - y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cot (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 - y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $y'$ إلى كلا المتعادلين.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

خطوة 5.2.2

أعِد ترتيب $- y' \csc^{2} (y)$ و $y'$ .

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة $y'$ بالصيغة $1 y'$ .

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $- y'$ من $1 y'$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $- y'$ من $- y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

خطوة 5.2.6

أخرِج العامل $- y'$ من $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

خطوة 5.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

خطوة 5.2.8

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- y' \cot^{2} (y) = 1$ على $- \cot^{2} (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- y' \cot^{2} (y) = 1$ على $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cot^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

خطوة 5.3.3.3

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

خطوة 5.3.3.4

أعِد كتابة $\cot (y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

خطوة 5.3.3.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

خطوة 5.3.3.6

حوّل من $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ إلى $\tan (y)$ .

$y' = - \tan^{2} (y)$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $- \tan^{2} (y) = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اقسِم كل حد في $- \tan^{2} (y) = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 7.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 7.1.2.2

اقسِم $\tan^{2} (y)$ على $1$ .

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 7.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\tan^{2} (y) = 0$

خطوة 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

خطوة 7.3

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 7.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\tan (y) = \pm 0$

خطوة 7.3.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$\tan (y) = 0$

خطوة 7.4

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل المماس.

$y = \arctan (0)$

خطوة 7.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 7.6

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$y = π + 0$

خطوة 7.7

أضف $π$ و $0$ .

$y = π$

خطوة 7.8

أوجِد فترة $\tan (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 7.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 7.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 7.8.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 7.9

فترة دالة $\tan (y)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$y = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7.10

وحّد الإجابات.

$y = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احذِف الأقواس.

$\cot (y) = π n - y$

خطوة 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $n$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $π n$ من كلا المتعادلين.

$π n - y - π n = 0$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $π n - y - π n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $π n$ من $π n$ .

$- y + 0 = 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $- y$ و $0$ .

$- y = 0$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $- y = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $- y = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 9.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

خطوة 9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$y = 0$

خطوة 10

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, π n - y)$

خطوة 11