حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 27 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $- 27$ .

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.4.3

اضرب $- 36$ في $1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

خطوة 3.5.2

أضف $36 x^{2} - 54 x - 36$ و $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

خطوة 6

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $18$ من $36 x^{2} - 54 x - 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أخرِج العامل $18$ من $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

خطوة 6.1.1.2

أخرِج العامل $18$ من $- 54 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

خطوة 6.1.1.3

أخرِج العامل $18$ من $- 36$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

خطوة 6.1.1.4

أخرِج العامل $18$ من $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

خطوة 6.1.1.5

أخرِج العامل $18$ من $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

خطوة 6.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ ومجموعهما $b = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 x$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 3$ في صورة $1$ زائد $- 4$

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

خطوة 6.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

خطوة 6.1.2.1.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

خطوة 6.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

خطوة 6.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

خطوة 6.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 1$ .

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

خطوة 6.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

خطوة 6.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 6.3

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 6.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 6.3.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 6.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 6.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

خطوة 7

بسّط $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{8}$ إلى بسط الكسر.

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.5.3

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.6

اجمع $3$ و $\frac{- 1}{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.9

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.9.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.11

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.12

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.13

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.14

اجمع $- 27$ و $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.16

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.16.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

خطوة 7.1.16.2

أخرِج العامل $2$ من $- 36$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

خطوة 7.1.16.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

خطوة 7.1.16.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

خطوة 7.1.17

اضرب $- 18$ في $- 1$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

خطوة 7.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

خطوة 7.2.2

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

خطوة 7.2.3

اكتب $18$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

خطوة 7.2.4

اضرب $\frac{18}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

خطوة 7.2.5

اضرب $\frac{18}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

خطوة 7.2.6

اكتب $8$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

خطوة 7.2.7

اضرب $\frac{8}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.8

اضرب $\frac{8}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.9

اضرب $2$ في $2$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.4.2

اضرب $18$ في $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.4.3

اضرب $8$ في $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

خطوة 7.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اطرح $27$ من $- 6$ .

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

خطوة 7.5.2

أضف $- 33$ و $72$ .

$y = \frac{39 + 32}{4}$

خطوة 7.5.3

أضف $39$ و $32$ .

$y = \frac{71}{4}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احذِف الأقواس.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

خطوة 8.2

احذِف الأقواس.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

خطوة 8.4

بسّط $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

خطوة 8.4.1.2

اضرب $12$ في $8$ .

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

خطوة 8.4.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

خطوة 8.4.1.4

اضرب $- 27$ في $4$ .

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

خطوة 8.4.1.5

اضرب $- 36$ في $2$ .

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

خطوة 8.4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اطرح $108$ من $96$ .

$y = - 12 - 72 + 8$

خطوة 8.4.2.2

اطرح $72$ من $- 12$ .

$y = - 84 + 8$

خطوة 8.4.2.3

أضف $- 84$ و $8$ .

$y = - 76$

خطوة 9

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

خطوة 10