حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x - 4 \cos (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

خطوة 3.2.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \cos (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 3.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

خطوة 3.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

خطوة 3.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

خطوة 3.3.7

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

خطوة 6

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$12 \sin (3 x) = - 6$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $12 \sin (3 x) = - 6$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $12 \sin (3 x) = - 6$ على $12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $\sin (3 x)$ على $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

خطوة 6.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

خطوة 6.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 6.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

خطوة 6.5

اقسِم كل حد في $3 x = - \frac{π}{6}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اقسِم كل حد في $3 x = - \frac{π}{6}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

خطوة 6.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

خطوة 6.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

خطوة 6.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 6.5.3.2

اضرب $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

خطوة 6.5.3.2.2

اضرب $3$ في $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

خطوة 6.6

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 6.7

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 6.7.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 6.7.3

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{7 π}{6}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.3.1

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{7 π}{6}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

خطوة 6.7.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

خطوة 6.7.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

خطوة 6.7.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 6.7.3.3.2

اضرب $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.3.3.2.1

اضرب $\frac{7 π}{6}$ في $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

خطوة 6.7.3.3.2.2

اضرب $6$ في $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

خطوة 6.8

أوجِد فترة $\sin (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.8.2

استبدِل $b$ بـ $3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

خطوة 6.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 6.9

اجمع $\frac{2 π}{3}$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

اجمع $\frac{2 π}{3}$ مع $- \frac{π}{18}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

خطوة 6.9.2

لكتابة $\frac{2 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

خطوة 6.9.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $18$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.3.1

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

خطوة 6.9.3.2

اضرب $3$ في $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

خطوة 6.9.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

خطوة 6.9.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.5.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

خطوة 6.9.5.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

خطوة 6.9.6

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{18}$

خطوة 6.10

فترة دالة $\sin (3 x)$ هي $\frac{2 π}{3}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{2 π}{3}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

بسّط $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 7.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 7.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.6.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 7.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 7.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 7.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 7.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

خطوة 7.2

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد ترتيب $\frac{7 π}{6}$ و $2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

خطوة 7.2.2

أعِد ترتيب $\frac{7 π}{3}$ و $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

خطوة 8

بسّط $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

خطوة 8.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 8.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.6.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 8.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 8.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 8.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

خطوة 8.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

خطوة 8.2

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد ترتيب $\frac{11 π}{6}$ و $2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

خطوة 8.2.2

أعِد ترتيب $\frac{11 π}{3}$ و $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

خطوة 9

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ ، لأي عدد صحيح $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10