حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

خطوة 1

ضع في اعتبارك الدالة المُستخدمة لإيجاد الخطية عند $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

خطوة 2

عوّض بقيمة $a = 2$ في الدالة الخطية.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

خطوة 3

احسِب قيمة $f (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

خطوة 3.2

بسّط $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف الأقواس.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

خطوة 3.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

خطوة 3.2.3

أضف $4$ و $21$ .

$\sqrt{25}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

خطوة 3.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$5$

خطوة 4

أوجِد المشتق واحسِب قيمته عند $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد مشتق $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 21}$ في صورة ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.7.3

انقُل ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

خطوة 4.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 21$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

خطوة 4.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

خطوة 4.1.10

بما أن $21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $21$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

خطوة 4.1.11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 4.1.11.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 4.1.11.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.1.11.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.1.11.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.2

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3.2

أضف $4$ و $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 4.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{5^{1}}$

خطوة 4.3.6

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{2}{5}$

خطوة 5

عوّض بالمركّبات في الدالة الخطية لإيجاد الإخطاط عند $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

خطوة 6.1.2

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

خطوة 6.1.3

اضرب $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

خطوة 6.1.3.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

خطوة 6.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

خطوة 6.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

خطوة 6.3

اجمع $5$ و $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

خطوة 6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

خطوة 6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $5$ في $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

خطوة 6.5.2

اطرح $4$ من $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

خطوة 7