حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 6$

$b = 8$

$k = 7$

$h = 4$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(4, 7)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{36 + {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{36 + 64}$

خطوة 5.3.3

أضف $36$ و $64$ .

$\sqrt{100}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$10$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4, 13)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4, 1)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(4, 13), (4, 1)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4, 17)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4, - 3)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(4, 17), (4, - 3)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}}{6}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 8^{2}}}{6}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 64}}{6}$

خطوة 8.3.1.3

أضف $36$ و $64$ .

$\frac{\sqrt{100}}{6}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{6}$

خطوة 8.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{10}{6}$

خطوة 8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 (5)}{6}$

خطوة 8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{3}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{8^{2}}{10}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{64}{10}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$\frac{2 (32)}{10}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{32}{5}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

خطوة 11.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

خطوة 11.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1 + 7$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 7$

خطوة 11.2.2

أضف $- 3$ و $7$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

خطوة 12.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{4}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4 + 7$

خطوة 12.2.1.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

خطوة 12.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

خطوة 12.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1 + 7$

خطوة 12.2.1.5

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 + 7$

خطوة 12.2.1.6

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 7$

خطوة 12.2.2

أضف $3$ و $7$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 10$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{3 x}{4} + 4, y = - \frac{3 x}{4} + 10$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(4, 7)$

الرؤوس: $(4, 13), (4, 1)$

البؤر: $(4, 17), (4, - 3)$

الاختلاف المركزي: $\frac{5}{3}$

المعلمة البؤرية: $\frac{32}{5}$

خطوط التقارب: $y = \frac{3 x}{4} + 4$ ، $y = - \frac{3 x}{4} + 10$

خطوة 15