حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 1.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 1.1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 1.1.2.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 1.1.2.9

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.3

اطرح $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ من $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

خطوة 4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 x^{2} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 x^{2} = 0$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 x^{2} = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

اقسِم كل حد في $27 x^{2} = 0$ على $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.3.3.1.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.3.3.3

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.3.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.3.3.3.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 6.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 6.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

خطوة 6.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{1}{3}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - \frac{1}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $- \frac{1}{3}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \infty)$ .

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

خطوة 9