حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

خطوة 1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

خطوة 2

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} - 2 + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $x^{2} - 2$ و $0$ .

$x^{2} - 2$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $x^{2} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 2$

خطوة 4.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 4.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 4.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ عند $x = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{2}$ في العبارة.

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

خطوة 5.2.1.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

خطوة 5.2.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

خطوة 5.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

خطوة 5.2.2

لكتابة $- 2 \sqrt{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

خطوة 5.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اجمع $- 2 \sqrt{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

خطوة 5.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

خطوة 5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 5.2.4.1.2

اطرح $6 \sqrt{2}$ من $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 5.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 5.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 6

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ عند $x = - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{2}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.1.5

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.1.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.1.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

خطوة 6.2.2

لكتابة $2 \sqrt{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

خطوة 6.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اجمع $2 \sqrt{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

خطوة 6.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

خطوة 6.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $3$ في $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 6.2.4.2

أضف $- 2 \sqrt{2}$ و $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 7

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ هي $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

خطوة 8