حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $3 x^{2} - 10 x + 3$ و $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ ومجموعهما $b = - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أخرِج العامل $- 10$ من $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة $- 10$ في صورة $- 1$ زائد $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

خطوة 3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

خطوة 3.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 1 = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 1$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 3.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{3}, 3$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ عند $x = \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.7

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

خطوة 4.2.1.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

خطوة 4.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{5}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $\frac{5}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

خطوة 4.2.2.3

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

خطوة 4.2.2.4

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

خطوة 4.2.2.5

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

خطوة 4.2.2.6

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

خطوة 4.2.2.7

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

خطوة 4.2.2.8

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

خطوة 4.2.2.9

أعِد ترتيب عوامل $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

خطوة 4.2.2.10

اضرب $3$ في $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

خطوة 4.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $- 5$ في $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

خطوة 4.2.4.2

اطرح $15$ من $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

خطوة 4.2.4.3

أضف $- 14$ و $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

خطوة 4.2.4.4

أضف $13$ و $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

خطوة 4.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ عند $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 5$ في $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $3$ في $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $45$ من $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 18$ و $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

خطوة 5.2.2.3

أضف $- 9$ و $1$ .

$f (3) = - 8$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 8$ .

$- 8$

خطوة 6

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ هي $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

خطوة 7