حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \ln (x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

خطوة 1.3.6

اضرب $\ln (x^{2})$ في $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\ln (x^{2}) = - 2$

خطوة 2.2

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\ln (x^{2}) = - 2$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} = e^{- 2}$ .

$x^{2} = e^{- 2}$

خطوة 2.4.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

خطوة 2.4.3

بسّط $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

خطوة 2.4.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

خطوة 2.4.3.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

خطوة 2.4.3.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{1}{e}$

خطوة 2.4.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{1}{e}$

خطوة 2.4.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{1}{e}$

خطوة 2.4.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x \ln (x^{2})$ عند $x = \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{e}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

خطوة 3.2.2

انقُل $e^{2}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\ln (1^{2} e^{- 2})$ بالصيغة $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

خطوة 3.2.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 2$ خارج الأُس.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

خطوة 3.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

خطوة 3.2.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

خطوة 3.2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

وسّع $\ln (1^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

خطوة 3.2.7.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

خطوة 3.2.7.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

خطوة 3.2.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اطرح $2$ من $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

خطوة 3.2.8.2

اجمع $\frac{1}{e}$ و $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

خطوة 3.2.8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

خطوة 3.2.9

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x \ln (x^{2})$ عند $x = - \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{e}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

خطوة 4.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

خطوة 4.2.3

اضرب $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

خطوة 4.2.4

انقُل $e^{2}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

خطوة 4.2.5

أعِد كتابة $\ln (1^{2} e^{- 2})$ بالصيغة $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

خطوة 4.2.6

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 2$ خارج الأُس.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

خطوة 4.2.7

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

خطوة 4.2.8

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

خطوة 4.2.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

وسّع $\ln (1^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

خطوة 4.2.9.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

خطوة 4.2.9.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

خطوة 4.2.10

اطرح $2$ من $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

خطوة 4.2.11

اضرب $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.11.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

خطوة 4.2.11.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

خطوة 4.2.12

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x \ln (x^{2})$ هي $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

خطوة 6