حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{4} - 2 x + 1$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $4 x^{3} - 2$ و $0$ .

$4 x^{3} - 2$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $4 x^{3} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x^{3} = 2$

خطوة 3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} - 2 = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

خطوة 3.4

اقسِم كل حد في $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اقسِم كل حد في $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

اقسِم $2 x^{3} - 1$ على $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

خطوة 3.5

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{3} = 1$

خطوة 3.6

اقسِم كل حد في $2 x^{3} = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اقسِم كل حد في $2 x^{3} = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.6.2.1.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.8

بسّط $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 3.8.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 3.8.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.8.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.8.4.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.8.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.8.4.4

أضف $1$ و $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

خطوة 3.8.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.8.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.8.4.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.8.4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.8.4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.8.4.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

خطوة 3.8.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

خطوة 3.8.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ عند $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ بالصيغة $\sqrt[3]{4^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2.3

أعِد كتابة $256$ بالصيغة $4^{3} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.3.1

أخرِج العامل $64$ من $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2.3.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $4^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

خطوة 4.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

خطوة 4.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

خطوة 4.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

خطوة 4.2.1.6

أعِد كتابة $- 1 \sqrt[3]{4}$ بالصيغة $- \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

خطوة 4.2.2

لكتابة $- \sqrt[3]{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

خطوة 4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اجمع $- \sqrt[3]{4}$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

خطوة 4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

خطوة 4.2.4.1.2

اطرح $4 \sqrt[3]{4}$ من $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

خطوة 4.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

خطوة 4.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

خطوة 5

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ هو $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

الصيغة العشرية:

$y = - 0.19055078 \dots$

خطوة 7