حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

خطوة 1

بسّط $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $40 x^{3}$ و $- 3 x^{5}$ .

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

خطوة 2

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2.3

اضرب $5$ في $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $40$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $40 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3.3

اضرب $3$ في $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ و $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

خطوة 4.1.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $15 u$ من $- 15 u^{2} + 120 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أخرِج العامل $15 u$ من $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 120 u = 0$

خطوة 4.1.3.2

أخرِج العامل $15 u$ من $120 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

خطوة 4.1.3.3

أخرِج العامل $15 u$ من $15 u (- u) + 15 u (8)$ .

$15 u (- u + 8) = 0$

خطوة 4.1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

خطوة 4.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

خطوة 4.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 4.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.4

عيّن قيمة العبارة $- x^{2} + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عيّن قيمة $- x^{2} + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

خطوة 4.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x^{2} + 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 8$

خطوة 4.4.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 8$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 8$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 4.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 4.4.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 4.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.3.1

اقسِم $- 8$ على $- 1$ .

$x^{2} = 8$

خطوة 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

خطوة 4.4.2.4

بسّط $\pm \sqrt{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.4.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.4.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

خطوة 4.4.2.4.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 4.4.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.4.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.4.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.4.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ عند $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

خطوة 5.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $40$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

خطوة 5.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ عند $x = 2 \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2 \sqrt{2}$ في العبارة.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{5}$ بالصيغة $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.5.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.5.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.7

اضرب $4$ في $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.8

اضرب $128$ في $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 6.2.1.9

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

خطوة 6.2.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

خطوة 6.2.1.11

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

خطوة 6.2.1.12

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

خطوة 6.2.1.13

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.13.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

خطوة 6.2.1.13.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

خطوة 6.2.1.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

خطوة 6.2.1.15

اضرب $2$ في $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

خطوة 6.2.1.16

اضرب $16$ في $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

خطوة 6.2.2

أضف $- 384 \sqrt{2}$ و $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

خطوة 7

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ عند $x = - 2 \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2 \sqrt{2}$ في العبارة.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{5}$ بالصيغة $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.5

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.5.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.5.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $4$ في $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.8

اضرب $- 128$ في $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

خطوة 7.2.1.9

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

خطوة 7.2.1.10

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

خطوة 7.2.1.11

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

خطوة 7.2.1.12

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

خطوة 7.2.1.13

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.13.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

خطوة 7.2.1.13.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

خطوة 7.2.1.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

خطوة 7.2.1.15

اضرب $2$ في $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

خطوة 7.2.1.16

اضرب $- 16$ في $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

خطوة 7.2.2

اطرح $640 \sqrt{2}$ من $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

خطوة 8

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ هي $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

خطوة 9