حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x - 3 x^{2}$

خطوة 1

أعِد ترتيب $4 x$ و $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 4 x$

خطوة 2

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$- 6 x + 4$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 6 x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 6 x = - 4$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $- 6 x = - 4$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $- 6 x = - 4$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

خطوة 4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 6}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 4$ .

$x = \frac{- 2 (2)}{- 6}$

خطوة 4.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

خطوة 4.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{3}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ عند $x = \frac{2}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2}{3}) = - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{4}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (- 1) (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.4.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2}{3}) = - 1 (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.5

أعِد كتابة $- 1 (\frac{4}{3})$ بالصيغة $- (\frac{4}{3})$ .

$f (\frac{2}{3}) = - (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $4 (\frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.6.1

اجمع $4$ و $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

خطوة 5.2.1.6.2

اضرب $4$ في $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3}$

خطوة 5.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4 + 8}{3}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 4$ و $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

خطوة 6

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ هو $y = \frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

خطوة 7