حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 6 x^{2} + 3 x - 6$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + 3 x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$12 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x + 3 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $12 x + 3$ و $0$ .

$12 x + 3$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$12 x = - 3$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $12 x = - 3$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $12 x = - 3$ على $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 3}{12}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 3}{12}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{12}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{12}$

خطوة 3.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

خطوة 3.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

خطوة 3.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{- 1}{4}$

خطوة 3.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{4}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$ عند $x = - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{4}) = 6 {(- \frac{1}{4})}^{2} + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{4^{2}}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{16}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{1}{4}) = 3 (\frac{1}{8}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.7

اجمع $3$ و $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.8

اضرب $3 (- \frac{1}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{4}) - 6$

خطوة 4.2.1.8.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{- 3}{4} - 6$

خطوة 4.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{4} - 6$

خطوة 4.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

خطوة 4.2.2.3

اكتب $- 6$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

خطوة 4.2.2.4

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 4.2.2.5

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.2.2.6

أعِد ترتيب عوامل $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.2.2.7

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 - 6 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.2.4.2

اضرب $- 6$ في $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 - 48}{8}$

خطوة 4.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اطرح $6$ من $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 3 - 48}{8}$

خطوة 4.2.5.2

اطرح $48$ من $- 3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 51}{8}$

خطوة 4.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{51}{8}$

خطوة 4.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{51}{8}$ .

$- \frac{51}{8}$

خطوة 5

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$ هو $y = - \frac{51}{8}$ .

$y = - \frac{51}{8}$

خطوة 6