حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (x)$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = \sin (x)$

خطوة 2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \sin (x)$ عند $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

خطوة 4.2.2

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \sin (x)$ عند $x = \frac{π}{2} + π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

خطوة 5.2.3.2

أضف $π$ و $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.2.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 5.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

خطوة 5.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

خطوة 5.2.7

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = \sin (x)$ هو $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

خطوة 7