حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$

خطوة 1

Set each solution of $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 100 x y \to f (x) = 100 x y$

خطوة 2

Because the $y$ variable in the equation $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y)$

خطوة 2.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 2.2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

خطوة 2.2.6.2

أعِد ترتيب عوامل $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

خطوة 2.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $100$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $100 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $100 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$100 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$100 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$100 (x y' + y)$

خطوة 2.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$100 x y' + 100 y$

خطوة 2.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.3

وسّع $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.5

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.6

اضرب $6$ في $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.7

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.7.1

انقُل $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.7.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.7.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.1.4.8

اضرب $6$ في $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 x y' + 100 y$

خطوة 2.5.2

اطرح $100 x y'$ من كلا المتعادلين.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y$

خطوة 2.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اطرح $12 x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3}$

خطوة 2.5.3.2

اطرح $12 x y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

خطوة 2.5.4

أخرِج العامل $4 y'$ من $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أخرِج العامل $4 y'$ من $12 y y' x^{2}$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

خطوة 2.5.4.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $12 y^{3} y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

خطوة 2.5.4.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $- 100 x y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

خطوة 2.5.4.4

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3})$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

خطوة 2.5.4.5

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x)$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

خطوة 2.5.5

اقسِم كل حد في $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ على $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

اقسِم كل حد في $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ على $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ .

$\frac{4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 2.5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 2.5.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $100$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $100 y$ .

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{(3) x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

خطوة 2.5.5.3.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

خطوة 2.5.5.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

خطوة 2.5.5.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

خطوة 2.5.5.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

خطوة 2.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

خطوة 3

The roots of the derivative $\frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

خطوة 4