حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$

خطوة 1

Solve the equation as

y

$y$ in terms of

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2

عوّض بقيم

a = 1

$a = 1$ و

b = - x

$b = - x$ و

c = - 12

$c = - 12$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

y

$y$ .

\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.2

ارفع

- 1

$- 1$ إلى القوة

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3

اضرب

x^{2}

$x^{2}$ في

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.4

اضرب

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

اضرب

- 4

$- 4$ في

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.4.2

اضرب

- 4

$- 4$ في

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2

اضرب

2

$2$ في

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء

+

$+$ من

\pm

$\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.2

ارفع

- 1

$- 1$ إلى القوة

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3

اضرب

x^{2}

$x^{2}$ في

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4

اضرب

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.4.1

اضرب

$- 4$ في

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4.2

اضرب

$- 4$ في

$- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2

اضرب

$2$ في

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.4.3

غيّر

$\pm$ إلى

$+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء

$-$ من

$\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على

$- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع

$- 1$ إلى القوة

$2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3

اضرب

$x^{2}$ في

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4

اضرب

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.4.1

اضرب

$- 4$ في

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4.2

اضرب

$- 4$ في

$- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب

$2$ في

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.5.3

غيّر

$\pm$ إلى

$-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 2

Set each solution of

$y$ as a function of

$x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 3

Because the

$y$ variable in the equation

$y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

$\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

$y^{2} - x y - 12$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

$f (x) = x^{2}$ و

$g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

$u$ لتصبح

$y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو

$n u^{n - 1}$ حيث

$n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث

$u$ بـ

$y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة

$\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة

$y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة

$\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$- x y$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث

$f (x) = x$ و

$g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة

$\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة

$y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.5

اضرب

$y$ في

$1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.4

بما أن

$- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، فإن مشتق

$- 12$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

خطوة 3.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

خطوة 3.2.5.2

أضف

$2 y y' - x y' - y$ و

$0$ .

$2 y y' - x y' - y$

خطوة 3.3

بما أن

$0$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، فإن مشتق

$0$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' - x y' - y = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة

$y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف

$y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' - x y' = y$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل

$y'$ من

$2 y y' - x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل

$y'$ من

$2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل

$y'$ من

$- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل

$y'$ من

$y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في

$y' (2 y - x) = y$ على

$2 y - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في

$y' (2 y - x) = y$ على

$2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$2 y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم

$y'$ على

$1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 3.6

استبدِل

$y'$ بـ

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 4

The roots of the derivative

$\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

خطوة 5