حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} - x y - 12 = 0$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - x$ و $c = - 12$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.4.2

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.4.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4.2

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.4.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4.2

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - x y - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

خطوة 3.2.4

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

خطوة 3.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

خطوة 3.2.5.2

أضف $2 y y' - x y' - y$ و $0$ .

$2 y y' - x y' - y$

خطوة 3.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' - x y' - y = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' - x y' = y$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y' - x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $y' (2 y - x) = y$ على $2 y - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (2 y - x) = y$ على $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

خطوة 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

خطوة 5