حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $18 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 1$ في $18$ .

$- 18 \sin (x) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 1.3.7

اضرب $2$ في $9$ .

$- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 18 \sin (x) + 18 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 18 \sin (x) + 18 \cdot 1 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.3

اضرب $18$ في $1$ .

$- 18 \sin (x) + 18 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 2$ في $18$ .

$- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2

حلّل $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $18$ من $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $18$ من $- 18 \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $18$ من $18$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) - 36 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $18$ من $- 36 \sin^{2} (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $18$ من $18 (- \sin (x)) + 18 (1)$ .

$18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $18$ من $18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$18 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x)$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$18 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.1.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 2 \sin (x) + 1$ .

$18 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (x) = - 1$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 2.4.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 2.4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 2.4.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 2.4.2.6

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 2.4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.6.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 2.4.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 2.4.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.4.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) = - 1$

خطوة 2.5.2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2.4

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 2.5.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5.2.6

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.5.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.5.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.5.2.7

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.7.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 2.5.2.7.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2.7.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.7.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2.7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.5.2.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.7.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.5.2.7.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5.2.7.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ عند $x = \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = 18 \cos (\frac{π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 18 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (9) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (9 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

خطوة 3.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

خطوة 3.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 3.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 3.2.1.5

اجمع $9$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.2

لكتابة $9 \sqrt{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اجمع $9 \sqrt{3}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2 + 9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $2$ في $9$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{18 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.4.2

أضف $18 \sqrt{3}$ و $9 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{27 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ عند $x = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

لكتابة $\frac{2 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 4 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.4.2

أضف $π$ و $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{5 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \cos (\frac{π}{6})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 (9) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (9 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 9 (- \sqrt{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.8

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

خطوة 4.2.1.9

لكتابة $\frac{2 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}))$

خطوة 4.2.1.10

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.10.1

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}))$

خطوة 4.2.1.10.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}))$

خطوة 4.2.1.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}))$

خطوة 4.2.1.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.12.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 4 π}{6}))$

خطوة 4.2.1.12.2

أضف $π$ و $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 4.2.1.13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.13.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

خطوة 4.2.1.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

خطوة 4.2.1.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{5 π}{3})$

خطوة 4.2.1.14

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 4.2.1.15

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.2.1.16

اضرب $9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.16.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - 9 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.1.16.2

اجمع $- 9$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.1.17

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.2

لكتابة $- 9 \sqrt{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اجمع $- 9 \sqrt{3}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2 - 9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $2$ في $- 9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 18 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.4.2

اطرح $9 \sqrt{3}$ من $- 18 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 27 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 5

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ هو $y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 6