حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

خطوة 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

خطوة 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 2.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 2.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

خطوة 2.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

خطوة 2.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 2.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

خطوة 2.5.1.2

أضف $9 y$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 2.5.2.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 2.5.2.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 2.5.3

اقسِم كل حد في $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ على $3 (y^{2} - 3 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اقسِم كل حد في $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ على $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 2.5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 2.5.3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 2.5.3.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 2.5.3.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 2.5.3.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 2.5.3.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.2.5.1

أعِد كتابة $- (x^{2} - 3 y)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 2.5.3.3.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 2.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{2} - 3 y = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $3 y$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3 y$

خطوة 3.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{3 y}$

خطوة 3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3 y}$

خطوة 3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3 y}$

خطوة 3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

خطوة 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{3 y}$ في العبارة.

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

خطوة 4.2

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

خطوة 6