حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} = 7$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$y^{3} = 7 - x^{3}$

خطوة 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

خطوة 3.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ على $3 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ على $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

خطوة 3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

خطوة 3.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

خطوة 5.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

خطوة 5.2.3

أضف $7$ و $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $\sqrt[3]{7}$ .

$\sqrt[3]{7}$

خطوة 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$y = \sqrt[3]{7}$

الصيغة العشرية:

$y = 1.91293118 \dots$

خطوة 8