حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

خطوة 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

خطوة 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

خطوة 2.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 (x y' + y)$

خطوة 2.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x y' + 2 y$

خطوة 2.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اطرح $2 x y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

خطوة 2.5.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

خطوة 2.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' - 2 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

خطوة 2.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

خطوة 2.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

خطوة 2.5.4

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ على $3 y^{2} - 2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ على $3 y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

خطوة 2.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

خطوة 2.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

خطوة 2.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

خطوة 2.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = - 2 y$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = - 2 y$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

خطوة 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

خطوة 3.2.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.2.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 3.2.4.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 3.2.4.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 3.2.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.2.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.2.4.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.2.4.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.2.4.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.2.4.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.2.4.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 3.2.4.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.2.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

خطوة 3.2.4.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

خطوة 3.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

خطوة 3.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

خطوة 3.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

خطوة 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $2$ و $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ و $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

خطوة 5.2.1.2

اجمع $- 2$ و $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

خطوة 5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

خطوة 5.2.3

اجمع $y$ و $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

خطوة 5.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

خطوة 5.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

خطوة 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

خطوة 7