حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

خطوة 1.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = x$ و $c = x^{2} - 9$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.5

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.5

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.5.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

خطوة 1.5.7

أعِد كتابة $- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ بالصيغة $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

خطوة 1.5.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.6.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.6.1.3

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.6.1.4

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.6.1.5

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.6.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.6.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.6.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.6.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

خطوة 1.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

خطوة 1.6.7

أعِد كتابة $- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ بالصيغة $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

خطوة 1.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 1.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x y + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

خطوة 3.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

خطوة 3.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

خطوة 3.5.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x y' + 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ على $x + 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ على $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 x + y)$ بالصيغة $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

خطوة 3.5.3.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x + y = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - y$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - y$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - y$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{y}{2}$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{y}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

انقُل ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب ${(- 1)}^{2}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

خطوة 5.2.1.5

لكتابة $12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

خطوة 5.2.1.6

اجمع $12$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

خطوة 5.2.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

خطوة 5.2.1.8

اضرب $12$ في $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

خطوة 5.2.1.9

اجمع $3$ و $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

خطوة 5.2.1.10

أعِد كتابة $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.10.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

خطوة 5.2.1.10.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

خطوة 5.2.1.10.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

خطوة 5.2.1.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

خطوة 5.2.1.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

خطوة 5.2.1.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

خطوة 5.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.3

اضرب $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

خطوة 5.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

خطوة 5.2.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

أعِد كتابة $- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ بالصيغة $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

خطوة 5.2.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 5.2.7.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

خطوة 5.2.7.4

اضرب $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ في $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 5.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{y}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

انقُل ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.2.2

اضرب ${(- 1)}^{2}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

خطوة 6.2.1.5

لكتابة $12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

خطوة 6.2.1.6

اجمع $12$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

خطوة 6.2.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

خطوة 6.2.1.8

اضرب $12$ في $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

خطوة 6.2.1.9

اجمع $3$ و $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

خطوة 6.2.1.10

أعِد كتابة $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.10.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

خطوة 6.2.1.10.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

خطوة 6.2.1.10.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

خطوة 6.2.1.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

خطوة 6.2.1.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

خطوة 6.2.1.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

خطوة 6.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 6.2.3

اضرب $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 6.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 6.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

خطوة 6.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

خطوة 6.2.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

أعِد كتابة $- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ بالصيغة $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

خطوة 6.2.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 6.2.7.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

خطوة 6.2.7.4

اضرب $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ في $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 6.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

خطوة 8