حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ على $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

خطوة 1.2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

خطوة 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

خطوة 1.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

خطوة 1.4.4

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{9}$ بالصيغة ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

خطوة 1.4.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{1}{3}$ و $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

خطوة 1.4.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

خطوة 1.4.6.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

خطوة 1.4.6.3

اضرب $\frac{1 + x}{3}$ في $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

خطوة 1.4.6.4

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

خطوة 1.4.7

أعِد كتابة $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

خطوة 1.4.7.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 1.4.7.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

خطوة 1.4.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 1.4.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

خطوة 1.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

خطوة 1.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

خطوة 1.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 9 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

خطوة 3.2.2.4

اضرب $2$ في $9$ .

$2 x + 18 y y'$

خطوة 3.2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$18 y y' + 2 x$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$18 y y' + 2 x = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$18 y y' = - 2 x$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $18 y y' = - 2 x$ على $18 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $18 y y' = - 2 x$ على $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

خطوة 3.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

خطوة 5.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $1 - (0)$ في $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

خطوة 5.2.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

خطوة 5.2.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

خطوة 5.2.2.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

خطوة 6.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $1 - (0)$ في $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

خطوة 6.2.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

خطوة 6.2.2.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

خطوة 8