حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 + \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.5

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.6

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.1.3

اضرب $- \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1.3.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.1.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 - 2 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.4.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (2 \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.4.4

أعِد كتابة $- 1 (1 + 2 \sin (x))$ بالصيغة $- (1 + 2 \sin (x))$ .

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1.9.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin (x) = - 1$

خطوة 2.2.2

اقسِم كل حد في $2 \sin (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 2.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 2.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 2.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 2.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 2.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.2.8

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 2.2.8.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.2.8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.2.8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 2.2.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 2.2.8.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 2.2.8.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 2.2.9

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ عند $x = \frac{7 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

خطوة 3.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

خطوة 3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

خطوة 3.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

خطوة 3.2.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 3.2.2.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 3.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

خطوة 3.2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

خطوة 3.2.2.6.2

اطرح $1$ من $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 3.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

خطوة 3.2.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ عند $x = \frac{11 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{11 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

خطوة 4.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

خطوة 4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

خطوة 4.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.2.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

خطوة 4.2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

خطوة 4.2.2.6.2

اطرح $1$ من $4$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.5

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 4.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ هي $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 6