حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} - 3 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $x^{2} - 3$ و $0$ .

$x^{2} - 3$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ عند $x = \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{3}$ في العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.1.3.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.2

اطرح $3 \sqrt{3}$ من $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2 \sqrt{3} + 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ عند $x = - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.5

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.5.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.1

أخرِج العامل $3$ من $- (3 \sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

خطوة 4.2.1.8

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

خطوة 4.2.2

أضف $- \sqrt{3}$ و $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $2 \sqrt{3} + 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ هي $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

خطوة 6