حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

خطوة 1.2

بسّط $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

خطوة 1.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

خطوة 1.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

خطوة 1.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

خطوة 1.3.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

خطوة 1.3.4

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

خطوة 1.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة ${(y - 2)}^{2}$ بالصيغة $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

خطوة 3.2.2

وسّع $(y - 2) (y - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

خطوة 3.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

خطوة 3.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

خطوة 3.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

خطوة 3.2.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

خطوة 3.2.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

خطوة 3.2.3.2

اطرح $2 y$ من $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

خطوة 3.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 4 y + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.8

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

خطوة 3.2.10

أضف $2 y y' - 4 y'$ و $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

خطوة 3.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 (x - 3)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (1 + 0)$

خطوة 3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' - 4 y' = 4$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y' - 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

خطوة 3.5.1.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

خطوة 3.5.1.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $2 y' (y - 2) = 4$ على $2 (y - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y' (y - 2) = 4$ على $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

خطوة 3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 = 0$

خطوة 4.2

بما أن $2 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 5

لا يوجد حل بتعيين قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ ، $\frac{2}{y - 2} = 0$ ، إذن لا توجد خطوط مماس أفقية.

لم يتم العثور على خطوط مماس أفقية

خطوة 6