حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $\frac{x^{2}}{16}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

خطوة 1.2

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 1.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 1.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 1.3.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 1.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{16}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

خطوة 1.3.2.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

خطوة 1.3.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.3.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

خطوة 1.3.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 1.5

بسّط $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 1.5.1.2

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

خطوة 1.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.5.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.5.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.5.6

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.5.7

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.5.8

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.5.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

خطوة 1.5.10

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

خطوة 1.5.11

اضرب $\frac{4 + x}{2}$ في $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.5.12

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

خطوة 1.5.13

أعِد كتابة $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.13.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

خطوة 1.5.13.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 1.5.13.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

خطوة 1.5.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 1.5.15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 1.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 1.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 1.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{16}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2.4

اجمع $\frac{2}{16}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

خطوة 3.2.3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

خطوة 3.2.3.5

اجمع $y$ و $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

خطوة 3.2.3.6

اجمع $\frac{y \cdot 2}{4}$ و $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

خطوة 3.2.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

خطوة 3.2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

خطوة 3.2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $\frac{x}{8}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

خطوة 3.5.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

خطوة 3.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

بسّط $2 (- \frac{x}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{8}$ إلى بسط الكسر.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

خطوة 3.5.3.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

خطوة 3.5.3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$y y' = \frac{- x}{4}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y y' = - \frac{x}{4}$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $y y' = - \frac{x}{4}$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $y y' = - \frac{x}{4}$ على $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 3.5.4.3.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

خطوة 3.5.4.3.3

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $4$ و $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

خطوة 5.2.2.3

أضف $4$ و $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

خطوة 5.2.2.4

اضرب $4$ في $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

خطوة 5.2.2.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

خطوة 5.2.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = \frac{4}{2}$

خطوة 5.2.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$f (0) = 2$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $4$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

خطوة 6.2.2.3

أضف $4$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

خطوة 6.2.2.4

اضرب $4$ في $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

خطوة 6.2.2.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

خطوة 6.2.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $4$ على $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

خطوة 8