حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت النقطة المُعطاة موجودة على الرسم البياني للدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة $f (x) = x^{3} - 2$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

خطوة 1.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 - 2$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f (1) = - 1$

خطوة 1.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 1.2

بما أن $- 1 = - 1$ ، إذن النقطة موجودة على الرسم البياني.

النقطة موجودة على الرسم البياني

خطوة 2

ميل خط المماس هو مشتق العبارة.

$m$ $=$ مشتق $f (x) = x^{3} - 2$

خطوة 3

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 4

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

خطوة 4.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

خطوة 4.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

خطوة 4.2.2

انقُل $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

خطوة 4.2.3

انقُل $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

خطوة 4.2.4

انقُل $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

خطوة 4.2.5

أعِد ترتيب $3 h^{2} x$ و $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

خطوة 4.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

خطوة 5

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

خطوة 6.1.3

اطرح $x^{3}$ من $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

خطوة 6.1.4

أضف $h^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

خطوة 6.1.5

أضف $- 2$ و $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

خطوة 6.1.6

أضف $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

خطوة 6.1.7

أخرِج العامل $h$ من $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.7.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

خطوة 6.1.7.2

أخرِج العامل $h$ من $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

خطوة 6.1.7.3

أخرِج العامل $h$ من $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

خطوة 6.1.7.4

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

خطوة 6.1.7.5

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

خطوة 6.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

انقُل $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

خطوة 6.2.2.2

انقُل $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

خطوة 6.2.2.3

أعِد ترتيب $3 x h$ و $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

خطوة 7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

خطوة 8

احسِب قيمة حد $3 x^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

خطوة 9

انقُل الحد $3 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

خطوة 10

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

خطوة 11

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

خطوة 11.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اضرب $3 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اضرب $0$ في $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

خطوة 12.1.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

خطوة 12.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 x^{2} + 0 + 0$

خطوة 12.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 12.2.2

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 13

أوجِد الميل $m$ . في هذه الحالة $m = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احذِف الأقواس.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

خطوة 13.2

بسّط $3 \cdot 1^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$m = 3 \cdot 1$

خطوة 13.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$m = 3$

خطوة 14

الميل هو $m = 3$ والنقطة هي $(1, - 1)$ .

$m = 3, (1, - 1)$

خطوة 15

أوجِد قيمة $b$ باستخدام قاعدة معادلة الخط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استخدِم قاعدة معادلة الخط المستقيم لإيجاد $b$ .

$y = m x + b$

خطوة 15.2

عوّض بقيمة $m$ في المعادلة.

$y = (3) \cdot x + b$

خطوة 15.3

عوّض بقيمة $x$ في المعادلة.

$y = (3) \cdot (1) + b$

خطوة 15.4

عوّض بقيمة $y$ في المعادلة.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

خطوة 15.5

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $(3) \cdot (1) + b = - 1$ .

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

خطوة 15.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + b = - 1$

خطوة 15.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $b$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$b = - 1 - 3$

خطوة 15.5.3.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$b = - 4$

خطوة 16

بما أن قيم $m$ (الميل) و $b$ (نقطة التقاطع مع المحور الصادي) أصبحت معروفة الآن، فعوّض بها في $y = m x + b$ لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

$y = 3 x - 4$

خطوة 17