حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت النقطة المُعطاة موجودة على الرسم البياني للدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

خطوة 1.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

خطوة 1.1.2.1.2

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

خطوة 1.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

اطرح $5$ من $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

خطوة 1.1.2.2.2

أضف $- 4$ و $6$ .

$f (1) = 2$

خطوة 1.1.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 1.2

بما أن $2 = 2$ ، إذن النقطة موجودة على الرسم البياني.

النقطة موجودة على الرسم البياني

خطوة 2

ميل خط المماس هو مشتق العبارة.

$m$ $=$ مشتق $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

خطوة 3

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 4

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

خطوة 4.1.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

خطوة 4.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

خطوة 4.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

خطوة 4.2.2

انقُل $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

خطوة 4.2.3

أعِد ترتيب $2 h x$ و $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

خطوة 4.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

خطوة 5

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

خطوة 6.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

خطوة 6.1.3

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

خطوة 6.1.4

أضف $h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

خطوة 6.1.5

أضف $- 5 x$ و $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

خطوة 6.1.6

أضف $h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

خطوة 6.1.7

اطرح $6$ من $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

خطوة 6.1.8

أضف $h^{2} + 2 h x - 5 h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

خطوة 6.1.9

أخرِج العامل $h$ من $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.9.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

خطوة 6.1.9.2

أخرِج العامل $h$ من $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

خطوة 6.1.9.3

أخرِج العامل $h$ من $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

خطوة 6.1.9.4

أخرِج العامل $h$ من $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

خطوة 6.1.9.5

أخرِج العامل $h$ من $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

خطوة 6.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $h + 2 x - 5$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

خطوة 6.2.2

أعِد ترتيب $h$ و $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

خطوة 7.3

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

خطوة 8

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

خطوة 9.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$2 x - 5$

خطوة 10

بسّط $2 (1) - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $2$ في $1$ .

$m = 2 - 5$

خطوة 10.2

اطرح $5$ من $2$ .

$m = - 3$

خطوة 11

الميل هو $m = - 3$ والنقطة هي $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

خطوة 12

أوجِد قيمة $b$ باستخدام قاعدة معادلة الخط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استخدِم قاعدة معادلة الخط المستقيم لإيجاد $b$ .

$y = m x + b$

خطوة 12.2

عوّض بقيمة $m$ في المعادلة.

$y = (- 3) \cdot x + b$

خطوة 12.3

عوّض بقيمة $x$ في المعادلة.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

خطوة 12.4

عوّض بقيمة $y$ في المعادلة.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

خطوة 12.5

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

خطوة 12.5.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 + b = 2$

خطوة 12.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $b$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$b = 2 + 3$

خطوة 12.5.3.2

أضف $2$ و $3$ .

$b = 5$

خطوة 13

بما أن قيم $m$ (الميل) و $b$ (نقطة التقاطع مع المحور الصادي) أصبحت معروفة الآن، فعوّض بها في $y = m x + b$ لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

$y = - 3 x + 5$

خطوة 14