حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت النقطة المُعطاة موجودة على الرسم البياني للدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ عند $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

خطوة 1.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

خطوة 1.1.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 1.1.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 1.2

بما أن $1 = 1$ ، إذن النقطة موجودة على الرسم البياني.

النقطة موجودة على الرسم البياني

خطوة 2

ميل خط المماس هو مشتق العبارة.

$m$ $=$ مشتق $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

خطوة 3

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 4

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

خطوة 4.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

خطوة 4.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

خطوة 5

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

لكتابة $\frac{1}{x + h + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

خطوة 6.1.2

لكتابة $- \frac{1}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

خطوة 6.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h + 1) (x + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اضرب $\frac{1}{x + h + 1}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

خطوة 6.1.3.2

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.5.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.5.4

أضف $0$ و $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5

اطرح $1$ من $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.5.6

أضف $- h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $h$ من $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 6.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 6.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

خطوة 6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

خطوة 7.2

انقُل الحد $\frac{1}{x + 1}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

خطوة 7.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

خطوة 7.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

خطوة 7.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 7.6

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 7.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

خطوة 8

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $x$ و $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

خطوة 9.2

اضرب $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

خطوة 9.2.2

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

خطوة 9.2.3

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

خطوة 9.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

خطوة 9.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 10

أوجِد الميل $m$ . في هذه الحالة $m = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احذِف الأقواس.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

خطوة 10.2

احذِف الأقواس.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

خطوة 10.3

بسّط $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 10.3.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$m = - \frac{1}{1}$

خطوة 10.3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$m = - \frac{1}{1}$

خطوة 10.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$m = - 1 \cdot 1$

خطوة 10.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$m = - 1$

خطوة 11

الميل هو $m = - 1$ والنقطة هي $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

خطوة 12

أوجِد قيمة $b$ باستخدام قاعدة معادلة الخط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استخدِم قاعدة معادلة الخط المستقيم لإيجاد $b$ .

$y = m x + b$

خطوة 12.2

عوّض بقيمة $m$ في المعادلة.

$y = (- 1) \cdot x + b$

خطوة 12.3

عوّض بقيمة $x$ في المعادلة.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

خطوة 12.4

عوّض بقيمة $y$ في المعادلة.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

خطوة 12.5

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

خطوة 12.5.2

بسّط $(- 1) \cdot (0) + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + b = 1$

خطوة 12.5.2.2

أضف $0$ و $b$ .

$b = 1$

خطوة 13

بما أن قيم $m$ (الميل) و $b$ (نقطة التقاطع مع المحور الصادي) أصبحت معروفة الآن، فعوّض بها في $y = m x + b$ لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

$y = - x + 1$

خطوة 14