حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

خطوة 1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$1 + \sin (2 x) = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (2 x) = - 1$

خطوة 2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (- 1)$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

خطوة 2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 2.4.3.2

اضرب $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.6.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 2.6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 2.6.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 2.6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 2.6.3.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.6.3.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.7

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.7.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 2.7.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.8

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 2.8.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 2.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 2.8.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 2.8.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.9

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.10

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

خطوة 5

حدد النطاق والمدى.

النطاق: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

المدى: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

خطوة 6