حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[0, 6]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{4 x + 1}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$4 x + 1 \geq 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$4 x \geq - 1$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $4 x \geq - 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x \geq - 1$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x \geq - \frac{1}{4}$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

ترميز الفترة:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 6]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 x + 1$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 5.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $4$ في $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

خطوة 5.5.2

أضف $24$ و $1$ .

$u_{upper} = 25$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

خطوة 6

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

خطوة 8

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $25$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2.4

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2.6

اضرب $2$ في $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 10.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

خطوة 10.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

خطوة 10.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

خطوة 10.2.10

اطرح $2$ من $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

خطوة 10.2.11

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

خطوة 10.2.12

اضرب $4$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

خطوة 10.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $248$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.13.1

أخرِج العامل $4$ من $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

خطوة 10.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

خطوة 10.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

خطوة 10.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

خطوة 11

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

خطوة 11.2

أضف $6$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

خطوة 12.1.2

أخرِج العامل $2$ من $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

خطوة 12.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

خطوة 12.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

خطوة 12.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

خطوة 12.3

اضرب $3$ في $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

خطوة 13