حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

انقُل الأُس $2$ من ${(1 - \cos (x))}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.1.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.8

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.9

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.10.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.10.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.10.4

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

خطوة 2.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

خطوة 2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

خطوة 2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)$

خطوة 2.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

خطوة 4.1.6

اضرب $2$ في $0$ .

$0 + 0$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$