حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{3} - 8)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{3} - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 8$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.2.4.2

اضرب $3$ في $4$ .

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

خطوة 1.1.2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة ${(x^{3} - 8)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة ${(x^{3} - 8)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x - 2)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

عيّن قيمة ${(x - 2)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 2)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.4.2.3.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.4.2.4

عيّن قيمة العبارة ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.1

عيّن قيمة ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

خطوة 2.4.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

خطوة 2.4.2.4.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 2.4.2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

خطوة 2.4.2.4.2.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.4.2.4.2.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.4.2.4.2.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.2.4.2.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.2.4.2.6.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.2.4.2.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.2.4.2.7.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.2.4.2.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة ${(x^{3} - 8)}^{4}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(0 - 8)}^{4}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $8$ من $0$ .

${(- 8)}^{4}$

خطوة 4.1.2.3

ارفع $- 8$ إلى القوة $4$ .

$4096$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

${(8 - 8)}^{4}$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $8$ من $8$ .

$0^{4}$

خطوة 4.2.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 4096), (2, 0)$

خطوة 5