حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

خطوة 1.1.6

أضف $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ و $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $t$ من $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $t$ من $4 t^{3}$ .

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $t$ من $3 t^{2}$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $t$ من $2 t$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

خطوة 2.2.4

أخرِج العامل $t$ من $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ .

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

خطوة 2.2.5

أخرِج العامل $t$ من $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ .

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $4 t^{2} + 3 t + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $4 t^{2} + 3 t + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $t$ في $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 4$ و $b = 3$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $t$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 16$ في $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3.1.3

اطرح $32$ من $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 23$ بالصيغة $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (23)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 16$ في $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.4.1.3

اطرح $32$ من $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 23$ بالصيغة $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (23)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.4.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

خطوة 2.5.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

خطوة 2.5.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 16$ في $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.5.1.3

اطرح $32$ من $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 23$ بالصيغة $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (23)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.5.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

خطوة 2.5.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

خطوة 2.5.2.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ صحيحة.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.1.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 0 + 0 + 1$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 0 + 1$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 1$

خطوة 4.1.2.2.3

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 1)$

خطوة 5