حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = - x - 6$ و $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.9

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.11

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.12

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.13

أعِد كتابة $- 1 {(x - 6)}^{2}$ بالصيغة $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.14

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.15

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.16

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.17

اضرب الأُسس في ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.17.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.17.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.18

أخرِج العامل $x - 6$ من $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.18.1

أخرِج العامل $x - 6$ من $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.18.2

أخرِج العامل $x - 6$ من $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.18.3

أخرِج العامل $x - 6$ من $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.19.1

أخرِج العامل $x - 6$ من ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4.3.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4.3.3

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4.3.4

أضف $- x$ و $2 x$ .

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4.3.5

أضف $6$ و $12$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

خطوة 1.1.4.3.6

أضف $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x + 18 = 0$

خطوة 2.3

اطرح $18$ من كلا المتعادلين.

$x = - 18$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 6)}^{3} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 3.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 18$ .

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 18$ .

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

خطوة 4.1.2.1.2

اطرح $6$ من $18$ .

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

خطوة 4.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1.1

اطرح $6$ من $- 18$ .

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

خطوة 4.1.2.2.1.2

ارفع $- 24$ إلى القوة $2$ .

$\frac{12}{576} + 9$

خطوة 4.1.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $576$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12$ .

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

خطوة 4.1.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $576$ .

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

خطوة 4.1.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

خطوة 4.1.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{48} + 9$

خطوة 4.1.2.3

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

خطوة 4.1.2.4

اجمع $9$ و $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

خطوة 4.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

خطوة 4.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $9$ في $48$ .

$\frac{1 + 432}{48}$

خطوة 4.1.2.6.2

أضف $1$ و $432$ .

$\frac{433}{48}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $6$ من $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

خطوة 4.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

خطوة 4.2.2.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 18, \frac{433}{48})$

خطوة 5