حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x (x - 2) = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.2.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ عند $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

خطوة 3.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 3.2.3

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ عند $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

خطوة 4.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$f (2) = \frac{4}{1}$

خطوة 4.2.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$f (2) = 4$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ هي $y = 0, y = 4$ .

$y = 0, y = 4$

خطوة 6