حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + (x^{2} - 4) (2 x)$

خطوة 1.1.6

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 4) x)$

خطوة 1.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x$

خطوة 1.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)$

خطوة 1.1.7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)$

خطوة 1.1.7.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)$

خطوة 1.1.7.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)$

خطوة 1.1.7.3.4

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} - 8 x$

خطوة 1.1.7.3.5

أضف $2 x^{3}$ و $2 x^{3}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 2$

خطوة 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 2.5.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 2.5.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 2.5.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x^{2} - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $x^{2} (x^{2} - 4)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 ({(0)}^{2} - 4)$

خطوة 4.1.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 (0 - 4)$

خطوة 4.1.2.3

اطرح $4$ من $0$ .

$0 \cdot - 4$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $0$ في $- 4$ .

$0$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt{2}$ .

${(\sqrt{2})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2^{1} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

خطوة 4.2.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

خطوة 4.2.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

خطوة 4.2.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

خطوة 4.2.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (2^{1} - 4)$

خطوة 4.2.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 (2 - 4)$

خطوة 4.2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

اطرح $4$ من $2$ .

$2 \cdot - 2$

خطوة 4.2.2.3.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 4$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \sqrt{2}$ .

${(- \sqrt{2})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط بحذف الأس بالجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.2.2

اضرب ${\sqrt{2}}^{2}$ في $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2^{1} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب ${\sqrt{2}}^{2}$ في $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (2^{1} - 4)$

خطوة 4.3.2.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 (2 - 4)$

خطوة 4.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اطرح $4$ من $2$ .

$2 \cdot - 2$

خطوة 4.3.2.3.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 4$

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

خطوة 5