حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ و ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ من ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.1.2.4

اقسِم ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

خطوة 2.2.2

أضف $n$ و $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

خطوة 2.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

خطوة 2.2.4

اطرح $n$ من $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$r = \frac{1}{4}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

خطوة 3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{4^{0}}$

خطوة 3.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

خطوة 3.2.5

اقسِم $1$ على $1$ .

$a = 1$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ في $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

خطوة 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

خطوة 5.2.2

اجمع.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

خطوة 5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4^{6}$ .

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.5

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.8

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.9

اجمع $4$ و $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.11.1

اضرب $4$ في $1024$ .

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5.11.2

اطرح $1$ من $4096$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

خطوة 5.6.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

خطوة 5.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 5.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أخرِج العامل $3$ من $4095$ .

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 5.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 5.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1365}{1024}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1365}{1024}$

الصيغة العشرية:

$1.33300781 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{341}{1024}$