حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x + 4}$ في صورة ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.7.3

انقُل ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 1.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.1.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

خطوة 1.1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

خطوة 1.1.11.2

اضرب $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

خطوة 3.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ في صورة ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

بسّط ${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اقسِم كل حد في $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ على $27$ .

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 3.3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 3.3.3.1.2.1.2

اقسِم ${(x + 4)}^{2}$ على $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

خطوة 3.3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.2

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 3.3.3.3

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sqrt[3]{x + 4}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

خطوة 4.1.2.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 4.1.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$0$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- 4, 0)$

خطوة 5