حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ بالصيغة ${(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} - 2 x + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 2 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 2 x + 8$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 1.1.3.6

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

خطوة 1.1.3.7

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2)$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.6

اضرب $- 2 x + 2$ في $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.7

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.7.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.9

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.11

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 (x - 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم كل حد في $2 (x - 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.1.2.1.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 8}$

خطوة 4.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1 + 8}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{1 - 2 + 8}$

خطوة 4.1.2.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{- 1 + 8}$

خطوة 4.1.2.4

أضف $- 1$ و $8$ .

$\frac{1}{7}$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(1, \frac{1}{7})$

خطوة 5