حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 25$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1

اضرب $- 1$ في $25$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.3.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(x + 5) (x - 5) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 5) (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = - 5, 5$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{x^{2} + 25}{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 5$ .

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{25 + 25}{- 5}$

خطوة 4.1.2.1.2

أضف $25$ و $25$ .

$\frac{50}{- 5}$

خطوة 4.1.2.2

اقسِم $50$ على $- 5$ .

$- 10$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{25 + 25}{5}$

خطوة 4.2.2.1.2

أضف $25$ و $25$ .

$\frac{50}{5}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $50$ على $5$ .

$10$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

خطوة 4.3.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(- 5, - 10), (5, 10)$

خطوة 5