حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = | x |$ و $g (x) = 25 x^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $| u |$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $25 x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $25 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $2$ في $25$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

خطوة 1.1.2.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $50 x$ و $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

خطوة 1.1.2.6.2

اجمع $50$ و $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

خطوة 1.1.2.6.3

اجمع $\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ و $x$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3.2

اضرب $25$ في $50$ .

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3.3

اضرب $50$ في $- 4$ .

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $50 x$ من $1250 x^{3} - 200 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أخرِج العامل $50 x$ من $1250 x^{3}$ .

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

خطوة 2.3.1.1.2

أخرِج العامل $50 x$ من $- 200 x$ .

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

خطوة 2.3.1.1.3

أخرِج العامل $50 x$ من $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ .

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة $25 x^{2}$ بالصيغة ${(5 x)}^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

خطوة 2.3.1.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

خطوة 2.3.1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 5 x$ و $b = 2$ .

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

خطوة 2.3.1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

خطوة 2.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.4

عيّن قيمة العبارة $5 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

عيّن قيمة $5 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x + 2 = 0$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$5 x = - 2$

خطوة 2.3.4.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = - 2$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = - 2$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

خطوة 2.3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

خطوة 2.3.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

خطوة 2.3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{2}{5}$

خطوة 2.3.5

عيّن قيمة العبارة $5 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

عيّن قيمة $5 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x - 2 = 0$

خطوة 2.3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$5 x = 2$

خطوة 2.3.5.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = 2$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = 2$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

خطوة 2.3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

خطوة 2.3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

خطوة 2.3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

خطوة 3.2.2

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$25 x^{2} - 4 = 0$

خطوة 3.2.3

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$25 x^{2} = 4$

خطوة 3.2.4

اقسِم كل حد في $25 x^{2} = 4$ على $25$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اقسِم كل حد في $25 x^{2} = 4$ على $25$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

خطوة 3.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

خطوة 3.2.4.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{25}$

خطوة 3.2.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

خطوة 3.2.6

بسّط $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4}{25}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

خطوة 3.2.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

خطوة 3.2.6.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

خطوة 3.2.6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.3.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

خطوة 3.2.6.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{2}{5}$

خطوة 3.2.7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{2}{5}$

خطوة 3.2.7.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{2}{5}$

خطوة 3.2.7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

خطوة 3.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

خطوة 4

احسِب قيمة $| 25 x^{2} - 4 |$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $25$ في $0$ .

$| 0 - 4 |$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$| - 4 |$

خطوة 4.1.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 4$ و $0$ تساوي $4$ .

$4$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - \frac{2}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

خطوة 4.2.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

خطوة 4.2.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

خطوة 4.2.2.1.3

اضرب $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ في $1$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

خطوة 4.2.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

خطوة 4.2.2.1.5

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

خطوة 4.2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

خطوة 4.2.2.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 4 - 4 |$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$| 0 |$

خطوة 4.2.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$0$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{2}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{2}{5}$ .

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{5}$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

خطوة 4.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 4 - 4 |$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$| 0 |$

خطوة 4.3.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$0$

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

خطوة 5