حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y - 3$ و $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

اضرب $y^{2} - 3 y + 9$ في $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 3 y + 9$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.11

أضف $2 y - 3$ و $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

وسّع $(- y + 3) (2 y - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.2.1

انقُل $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.4

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.5

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.6

اضرب $3$ في $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.2

أضف $3 y$ و $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

اطرح $9$ من $9$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.2.2

أضف $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ و $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.3

اطرح $2 y^{2}$ من $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.4

أضف $- 3 y$ و $9 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} + 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y) + y \cdot 6$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

أعِد كتابة $6$ بالصيغة $- 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7

أعِد كتابة $- (y - 6)$ بالصيغة $- 1 (y - 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$y (y - 6) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $y (y - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

خطوة 2.3.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

خطوة 2.3.1.2.2

انقُل $- 6$ إلى يسار $y$ .

$y^{2} - 6 y = 0$

خطوة 2.3.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y \cdot y - 6 y = 0$

خطوة 2.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- 6 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

خطوة 2.3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y \cdot - 6$ .

$y (y - 6) = 0$

خطوة 2.3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$y = 0$

$y - 6 = 0$

خطوة 2.3.4

عيّن قيمة $y$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y = 0$

خطوة 2.3.5

عيّن قيمة العبارة $y - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

عيّن قيمة $y - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 6 = 0$

خطوة 2.3.5.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 6$

خطوة 2.3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $y (y - 6) = 0$ صحيحة.

$y = 0, 6$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

خطوة 3.2

اسرِد جميع النقاط.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

خطوة 4