حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 2}{x - 6}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y + 2}{y - 6}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب المعادلة في $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y x - 6 x = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y x - 6 x = \frac{y + 2}{y - 6} (y - 6)$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y x - 6 x = y + 2$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$y x - 6 x - y = 2$

خطوة 2.4.2

أضف $6 x$ إلى كلا المتعادلين.

$y x - y = 2 + 6 x$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 6 x$

خطوة 2.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 6 x$

خطوة 2.4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 6 x$

خطوة 2.4.4

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = 2 + 6 x$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = 2 + 6 x$ على $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

خطوة 2.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

خطوة 2.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

خطوة 2.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 + 6 x}{x - 1}$

خطوة 2.4.4.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = \frac{2 (1) + 6 x}{x - 1}$

خطوة 2.4.4.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$y = \frac{2 (1) + 2 (3 x)}{x - 1}$

خطوة 2.4.4.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (3 x)$ .

$y = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + 3 (\frac{x + 2}{x - 6}))}{(\frac{x + 2}{x - 6}) - 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اجمع $3$ و $\frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6 + 3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.5

أعِد كتابة $\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 3 \cdot 2 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.5.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.5.3

أضف $x$ و $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.5.4

اطرح $6$ من $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 0}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.3.5.5

أضف $4 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

خطوة 4.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

خطوة 4.2.4.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

خطوة 4.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}}$

خطوة 4.2.4.4

أعِد كتابة $\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

خطوة 4.2.4.4.2

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

خطوة 4.2.4.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{0 + 2 + 6}{x - 6}}$

خطوة 4.2.4.4.4

أضف $0$ و $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{2 + 6}{x - 6}}$

خطوة 4.2.4.4.5

أضف $2$ و $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{8}{x - 6}}$

خطوة 4.2.5

اجمع $2$ و $\frac{4 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

خطوة 4.2.6

اضرب $2$ في $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{8 x}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

خطوة 4.2.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

خطوة 4.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

خطوة 4.2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

خطوة 4.2.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

خطوة 4.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

خطوة 4.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2$ و $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot 1}{\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1} - 6}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 (1)$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

خطوة 4.3.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) - 6}$

خطوة 4.3.3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot - 3}$

خطوة 4.3.3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 \cdot - 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

خطوة 4.3.3.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

خطوة 4.3.3.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

خطوة 4.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اضرب $\frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$ في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

خطوة 4.3.4.2

اجمع.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

خطوة 4.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.6

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + x - 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.7.2

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x + 0}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.7.3

أضف $3 x + x$ و $0$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.7.4

أضف $3 x$ و $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

خطوة 4.3.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

خطوة 4.3.8.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

خطوة 4.3.8.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

خطوة 4.3.8.4

أضف $1$ و $3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{3 x - 3 x + 4}$

خطوة 4.3.8.5

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{0 + 4}$

خطوة 4.3.8.6

أضف $0$ و $4$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 4.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 4.3.9.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$