حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ و ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ من ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.1.2.4

اقسِم ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ على $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

خطوة 2.2.2

أضف $n$ و $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

خطوة 2.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

خطوة 2.2.4

اطرح $n$ من $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$r = - \frac{1}{3}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

خطوة 4.2.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

خطوة 4.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

خطوة 4.2.4

اضرب $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ في $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

خطوة 4.2.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

خطوة 4.2.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

خطوة 4.2.7

اقسِم $1$ على $1$ .

$a = 1$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $- - \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

خطوة 6.1.1.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

خطوة 6.1.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

خطوة 6.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

خطوة 6.1.4

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 (\frac{3}{4})$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{3}{4}$ في $1$ .

$\frac{3}{4}$