حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\tan^{2} (x))$

خطوة 1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (\tan^{2} (x))$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\tan^{2} (x) \leq 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{\tan^{2} (x)} \leq \sqrt{0}$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط $\sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| \tan (x) | \leq | 0 |$

خطوة 2.2.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$| \tan (x) | \leq 0$

خطوة 2.3

اكتب $| \tan (x) | \leq 0$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$\tan (x) \geq 0$

خطوة 2.3.2

في الجزء الذي يكون فيه $\tan (x)$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$\tan (x) \leq 0$

خطوة 2.3.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$\tan (x) < 0$

خطوة 2.3.4

في الجزء الذي يكون فيه $\tan (x)$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- \tan (x) \leq 0$

خطوة 2.3.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} \tan (x) \leq 0 & \tan (x) \geq 0 \\ - \tan (x) \leq 0 & \tan (x) < 0 \end{cases}$

خطوة 2.4

أوجِد التقاطع بين $\tan (x) \leq 0$ و $\tan (x) \geq 0$ .

$\tan (x) = 0$

خطوة 2.5

أوجِد حل $- \tan (x) \leq 0$ عندما تكون $\tan (x) < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) \leq 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) \leq 0$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 2.5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 2.5.1.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 2.5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\tan (x) \geq 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد التقاطع بين $\tan (x) \geq 0$ و $\tan (x) < 0$ .

لا يوجد حل

خطوة 2.6

أوجِد اتحاد الحلول.

$\tan (x) = 0$

خطوة 2.7

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (0)$

خطوة 2.8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.9

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + 0$

خطوة 2.10

أضف $π$ و $0$ .

$x = π$

خطوة 2.11

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.11.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.11.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.11.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.12

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.13

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.14

أوجِد نطاق $\tan^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.14.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.15

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

خطوة 2.16

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < \frac{π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < \frac{π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 2.16.1.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\tan^{2} (1) \leq 0$

خطوة 2.16.1.3

الطرف الأيسر $2.42551882$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 2.16.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{2} < x < π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{2} < x < π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 2.16.2.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\tan^{2} (2) \leq 0$

خطوة 2.16.2.3

الطرف الأيسر $4.7743992$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 2.16.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < \frac{π}{2}$ خطأ

$\frac{π}{2} < x < π$ خطأ

$0 < x < \frac{π}{2}$ خطأ

$\frac{π}{2} < x < π$ خطأ

خطوة 2.17

بما أنه لا توجد أي أعداد واقعة ضمن الفترة، إذن لا يوجد حل لهذه المتباينة.

لا يوجد حل

خطوة 3

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5